Question

【題目】和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，在空間直角坐標(biāo)系中，空間平面和曲面的方程是一個(gè)三原方程.

（1）類(lèi)比平面解析幾何中直線的方程，寫(xiě)出①過(guò)點(diǎn)，法向量為的平面的點(diǎn)法式方程；②平面的一般方程；③在，，軸上的截距分別為，，的平面的截距式方程.（不需要說(shuō)明理由）

（2）設(shè)、為空間中的兩個(gè)定點(diǎn)，，我們將曲面定義為滿(mǎn)足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，試建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求曲面的方程.

（3）對(duì)（2）中的曲面，指出和證明曲面的對(duì)稱(chēng)性，并畫(huà)出曲面的直觀圖.

Answer 1

【答案】（1）①；②；③

（2）

（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于，，軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于，，平面對(duì)稱(chēng)，如圖

【解析】

(1)類(lèi)比平面中直線的點(diǎn)斜式方程,直線的一般方程,直線的截距式方程即可.

(2)類(lèi)比平面中的求軌跡方程的方法,設(shè)空間中的點(diǎn),再根據(jù)題意列出方程式化簡(jiǎn)求解即可.

(3)根據(jù)曲面方程可判斷曲面關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),關(guān)于,,軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于,,平面對(duì)稱(chēng)再證明畫(huà)出圖像即可.

(1) 類(lèi)比平面中直線的點(diǎn)斜式方程,直線的一般方程,直線的截距式方程可得：

①；②；③

(2) 以?xún)蓚�(gè)定點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸,以線段的垂直平分線為軸,以與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則,,設(shè),可得,.

所以.

移項(xiàng)得

兩邊平方,得

∴

兩邊平方得

即,兩邊同除以,設(shè)則

.

因此,可得曲面Γ的方程為.

(3)由于點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也滿(mǎn)足Γ的方程,

說(shuō)明曲面Γ關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

由于點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也滿(mǎn)足Γ的方程,

說(shuō)明曲面Γ關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；同理,曲面Γ關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng).

由于點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也滿(mǎn)足Γ的方程,

說(shuō)明曲面Γ關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)；同理,曲面Γ關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)；關(guān)于平面對(duì)稱(chēng).

由以上的討論,可得曲面Γ的直觀圖如圖所示.