已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則存在
，使得. 試用這個(gè)結(jié)論證明：若函數(shù)
（其中），則對(duì)任意，都有；
（Ⅲ）已知正數(shù)滿足，求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若時(shí)，都
有.

（Ⅰ） ；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在極值時(shí)有極值求出參數(shù)的值；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)法求解；（Ⅲ）由已知條件得出，再利用第（Ⅱ）問(wèn)的結(jié)論對(duì)任意，都有求解.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b0/a/oa9fh.png" style="vertical-align:middle;" />，且
所以，得，此時(shí).
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故                 4分
（Ⅱ）令，
則.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則根據(jù)結(jié)論可知：存在
使得                                7分
又，
當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減，；
故對(duì)任意，都有         .           9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，                12分
由（Ⅱ）知對(duì)任意，都有，從而
．     14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系；不等式的基本性質(zhì)與證明.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知 ().
（1）當(dāng)時(shí),判斷在定義域上的單調(diào)性；
（2）若在上的最小值為,求的值；
（3）若在上恒成立，試求的取值范圍.

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已知函數(shù)，它的一個(gè)極值點(diǎn)是．
(Ⅰ) 求的值及的值域；
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求的極值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

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已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù).
(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(3) 求證：，(其中，是自然對(duì)數(shù)的底).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知定義在上的函數(shù)(其中).
（Ⅰ）解關(guān)于的不等式;
（Ⅱ）若不等式對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù) ．
(1) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值和最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知,函數(shù),若.
(1)求的值并求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)設(shè),求在上的最大值與最小值.

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