Question

20．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿(mǎn)足2016f（-x）＜f′（x）恒成立，且f（1）=e^-2016，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． f（2016）＜0
• B． f（2016）＜e${\;}^{-201{6}^{2}}$
• C． f（2）＜0
• D． f（2）＞e^-4032

Answer 1

分析 由題意可知f′（x）+2016f（x）＞0恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$，求其導(dǎo)函數(shù)，可知其導(dǎo)函數(shù)恒大于0，由此可得函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，由g（2）＞g（1）可得f（2）＞e^-4032．

解答 解：∵f（x）為實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且2016f（-x）＜f′（x）恒成立，
∴f′（x）+2016f（x）＞0恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$，
則$g′（x）=\frac{f′（x）•{e}^{-2016x}+2016f（x）•{e}^{-2016x}}{（{e}^{-2016x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）+2016f（x）}{{e}^{-2016x}}＞0$，
∴函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
又f（1）=e^-2016，
∴g（2）＞g（1），
即$\frac{f（2）}{（{e}^{-2016}）^{2}}＞\frac{f（1）}{{e}^{-2016}}=\frac{{e}^{-2016}}{{e}^{-2016}}=1$，
∴f（2）＞e^-4032，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，考查了導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，是中檔題．