Question

14．若函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸相切于點（1，0），則f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．

Answer 1

分析 由圖象與x軸相切于點（1，0）得f（1）=0，f′（1）=0．從而解出p，q，解出不等式f′（x）＞0即為單調增區(qū)間．

解答 解：f′（x）=3x²-2px-q
∵函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸相切于點（1，0），
∴f（1）=0，f′（1）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-p-q=0}\\{3-2p-q=0}\end{array}\right.$，
解得p=2，q=-1．
∴f′（x）=3x²-4x+1．
令f′（x）=3x²-4x+1=0
得 x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1
∴3x²-4x+1＞0的解為
x＜$\frac{1}{3}$或x＞1時．
∴f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．
故答案為（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．

點評 本題考察了函數切線的性質，導數與函數單調性的關系．