如圖,四邊形ABCD是矩形,PA⊥面ABCD,其中AB=3,PA=4.
(1)當(dāng),且在PD上存在一點(diǎn)E,使得BE⊥CE時(shí),求二面角E-BC-A的平面角的余弦值;
(2)若在PD上存在一點(diǎn)E,使得BE⊥CE,試求AD的取值范圍.

【答案】分析:(1)過(guò)點(diǎn)E作PA的平行線,交AD于F,過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線,交BC于G,連接EG.則FG⊥BC,EG⊥BC,從而∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角,在Rt△EFG中,利用余弦函數(shù)可求二面角E-BC-A的平面角的余弦值;
(2)令EF=x,AD=a,根據(jù)BE⊥CE,利用勾股定理可構(gòu)建方程,利用方程有解,可求AD的取值范圍.
解答:解:(1)過(guò)點(diǎn)E作PA的平行線,交AD于F,
∵PA⊥面ABCD,∴EF⊥面ABCD,過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線,交BC于G,連接EG.則FG⊥BC,EG⊥BC,
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角,…(2分)
∵PA=4,,令EF=x,則
連接BF,在Rt△BEF中,BE2=BF2+EF2=AB2+AF2+EF2=9+3(4-x)2+x2
同理,連接CF,可得CE2=CF2+EF2=CD2+DF2+EF2=9+3x2+x2=9+4x2
∵BE⊥CE,∴BC2=BE2+CE2即9+3(4-x)2+x2+9+4x2=48,解之得,…(5分)
從而 ,∴
所以二面角E-BC-A的平面角的余弦值為.                              …(6分)
(2)令EF=x,AD=a,則,
∵BE⊥CE,∴BC2=BE2+CE2則有,
整理得,…(9分)
由△≥0,得a4-36a2-576≥0,解得,所以.            …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題以線面垂直為載體,考查面面角,解題的關(guān)鍵是利用面面角的定義,正確作出面面角,有一定的綜合性.
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(2) 求證:平面A′AC⊥平面BDE
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面DCQ;
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如圖,四邊形ABCD為矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,PA=1,E為BC的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)C到面PDE的距離;  
(2)求二面角P-DE-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°,那么∠BOD
128°
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如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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