已知點A(1，0)，(B，0)和互不相同的點P1，P2，P3，…，Pn，…，滿足，其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，O為坐標原點，若P1是線段AB的中點.

(Ⅰ)求a1，b1的值；

(Ⅱ)點P1，P2，P3，…，Pn，…能否共線？證明你的結(jié)論；

(Ⅲ)證明：對于給定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一個{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一個指數(shù)函數(shù)的圖象上．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)是線段的中點　　　　1分

　　又，且不共線，

　　由平面向量基本定理，知：　　　　　　　　3分

　　(Ⅱ)由　　　

　　設(shè)的公差為，的公比為，則由于，，，…，，…互不相同，所以，不會同時成立；　　　　　　　　　　　　　　　4分

　　若，則，

　　，，，…，，…都在直線上；　　　　　　5分

　　若，則為常數(shù)列，

　　，，，…，，…都在直線上；　　　　　　　6分

　　若且，，，，…，，…共線

　　與共線()

　　

　　

　　

　　與矛盾，

　　∴當且時，，，，…，，…不共線．　　　　9分

　　(Ⅲ)設(shè)都在指數(shù)函數(shù)的圖像上，則

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

　　令，則，　　　　　　　　　　　　　　11分

　　于是，有唯一解，　　　　　　　13分

　　由于，，從而滿足條件“，，，…，，互不相同”．

　　∴當對于給定的，都能找到唯一的一個，使得，，，…，，…，都在指數(shù)函數(shù)的圖象上．　　　　　　　　　　　　　　　　14分


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BE
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