Question

設(shè)p：“?x∈R，x²-ax+1=0”，q：“函數(shù)y=x²-2ax+a²+1在x∈[0，+∞）上的值域為[1，+∞）”，若“p∨q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)二次方程根的存在性與△的關(guān)系，可得命題p為真命題時實數(shù)a的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得命題q為真命題時實數(shù)a的取值范圍，由“p∨q”是假命題，可得命題p與命題p均為假命題，進而構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得答案．

解答：解：若命題p：“?x∈R，x²-ax+1=0”為真命題，
即方程x²-ax+1=0有實根
則△=a²-4≥0，解得a≤-2，或a≥2
故命題p為假命題時-2＜a＜2
若命題q：“函數(shù)y=x²-2ax+a²+1在x∈[0，+∞）上的值域為[1，+∞）”為真命題，
則函數(shù)y=x²-2ax+a²+1圖象的對稱軸：直線x=a≥0
故命題q為假命題時a＜0
由“p∨q”是假命題，故命題p與命題p均為假命題
故

-2＜a＜2 a＜0

解得-2＜a＜0
即實數(shù)a的取值范圍為（-2，0）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了二次方程根的存在性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合命題真假判斷的真值表，難度中檔．