如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

(I)見解析；(II).

解析試題分析：（I）取得中點，連接，,，由此可證，平面，進而可得；（II）易證，,兩兩垂直，以坐標原點，的方向為軸的正向，建立空間直角坐標系，可得,,的坐標，設是平面的一法向量，求出法向量，繼而求得，即為所求角的正弦值.
試題解析：（I）取得中點，連接，,
因為，所以,由于,
所以為等邊三角形，所以，
又因為,所以平面，
又平面，故；
（II）由（Ⅰ）知，，
又∵面面，面面，∴面，∴，
∴, 兩兩相互垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，||為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標系，設

有題設知(1,0,0),(0,,0),(0,0,),(－1,0,0),則=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),
設=是平面的法向量，
則，即，可取

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，側面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，ADC-900,AB=AD=PD=1.CD=2.

(I)求證：BC平面PBD：
(II)設E為側棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角
E-BD-P的大小為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900．

（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.

(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，，點在棱上.

（1）求證：平面平面；
（2）當，且時，確定點的位置，即求出的值.
（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，,點分別為和的中點.

（1）證明：平面；
（2）求和所成的角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知四棱錐E－ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，O為AB的中點．

(Ⅰ)求證：EO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求點D到平面AEC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直角梯形中，，，，，，過作，垂足為.、分別是、的中點．現(xiàn)將沿折起，使二面角的平面角為.

（1）求證：平面平面；
（2）求直線與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點

（1）若PA＝2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若PA，求證：平面ADE⊥平面PBC

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