Question

已知函數f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在實數a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求實數a，b的值，若不存在請說明理由．
（Ⅱ）若a=2，且對任意x∈（-1，+∞），f（x）＞b+1恒成立，求b的取值范圍．
（Ⅲ）若a為整數，b=a+2，且函數f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4），利用一元二次方程根與系數的關系求得a=

1

12

，b=

7

12

．而此時，不等式 ax²-bx+1＞0的解集是（0，3）∪（4，+∞），不是（3，4），故不存在實數a，b的值滿足條件．
（Ⅱ）由條件得b＜

2x2

x+1

對x＞-1恒成立，令 x+1=t，t＞0，則

2x2

x+1

=

2(t-1)2

t

=2（t+

1

t

-2）≥0，由此求得b＜0．
（Ⅲ）由b=a+2，可得f（x）=ax²-（a+2）x+1，分a=0、a≠0兩種情況，分別求出a的值，從而得出結論．

解答：解：（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4），故方程式 ax²-bx+1=0的兩根是 x₁=3，x₂=4．---（2分）
所以

1

a

=x₁•x₂=12，

b

a

=x₁+x₂=7，所以a=

1

12

，b=

7

12

．------（4分）
而當 a=

1

12

，b=

7

12

時，不等式 ax²-bx+1＞0的解集是（0，3）∪（4，+∞），不是（3，4），
故不存在實數a，b的值，使不等式ax²-bx+1＞0的解集是 （3，4）．-----------（5分）
（Ⅱ）由條件得：2x²-bx+1＞b+1對x＞-1恒成立，即b＜

2x2

x+1

對x＞-1恒成立．-------（7分）
令 x+1=t，t＞0，則

2x2

x+1

=

2(t-1)2

t

=2（t+

1

t

-2）≥0，當且僅當 x=0時，時取等號，----------（9分）
∴b＜0．---------（10分）
（Ⅲ）∵b=a+2，∴f（x）=ax²-（a+2）x+1，
（1）當a=0時，f（x）=-2x+1，f（x）恰有一個零點，但不在（-2，-1）內．------（11分）
（2）當a≠0時，△=（a+2）²-4a＞0，f（x）=ax²-bx+1恒有兩個零點．------（12分）
①當f（-2）f（-1）＜0時，f（x）在（-2，-1）內恰有一個零點，即（6a+5）（2a+3）＜0，解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，再由a∈Z可得 a=-1．------（14分）
②當f（-2）=0時，a=-

5

6

，此時，f（x）的另一個零點為

3

5

 不在（-2，-1）內．------（15分）
③當f（-1）=0時，a=

3

2

，此時，f（x）的另一個零點為

2

3

也不在（-2，-1）內．
綜上可得，a=-1．------（16分）

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．