Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2alnx+x2﹣（a+4）x+1（a為常數(shù)）
（1）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的 a∈（1， ），都存在 x0∈（3，4]使得不等式f（x0）+ln a+1＞m（a﹣a2）+2a ln 成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ．

令f′（x）=0，得x1=2， ．

①當(dāng)a＞4時(shí)， ＞2，當(dāng)2＜x＜ 時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0．

此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（ ），單調(diào)遞減區(qū)間為（2， ）．

②當(dāng)a=4時(shí)， =2，f′（x）= 0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

③當(dāng)0＜a＜4時(shí)， ＜2，當(dāng) ＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜ 或x＞2時(shí)，f′（x）＞0．

此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（ ，2）．

綜上所述，當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（ ），單調(diào)遞減區(qū)間為（2， ）．

當(dāng)a=4時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)0＜a＜4時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（ ，2）

（2）解：由（1）可知，當(dāng)a∈（1， ）時(shí)，f（x）在（3，4]上單調(diào)遞增．

∴x∈（3，4]時(shí)，f（x）max=f（4）=4aln2﹣4a+1，依題意，

只需f（x）max+lna+1＞ ，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2）恒成立．

即對(duì)任意的a∈（1， ），不等式lna+ma2﹣（m+2）a+2＞0恒成立．

設(shè)h（a）=lna+ma2﹣（m+2）a+2，則h（1）=0．

．

∵a∈（1， ），∴ ＞0．

①當(dāng)m≥1時(shí)，對(duì)任意的a∈（1， ），ma﹣1＞0，∴h′（a）＞0，h（a）在（1， ）上單調(diào)遞增，h（a）＞h（1）=0恒成立；

②當(dāng)m＜1時(shí)，存在a0∈（1， ），使得當(dāng)a∈（1，a0）時(shí)，ma﹣1＜0，∴h′（a）＜0，h（a）單調(diào)遞減，h（a）＜h（1）=0，

∴a∈（1， ）時(shí)，h（a）＞0不能恒成立．

綜上述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后對(duì)a分類求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）由（1）可知，f（x）在（3，4]上單調(diào)遞增．求出f（x）在（3，4]上的最大值，把問題轉(zhuǎn)化為f（x）max+lna+1＞ ，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2）恒成立．即對(duì)任意的a∈（1， ），不等式lna+ma2﹣（m+2）a+2＞0恒成立．設(shè)h（a）=lna+ma2﹣（m+2）a+2，然后分m≥1和m＜1討論a∈（1， ）時(shí)h（a）＞0是否恒成立求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．