Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），則m=

1

a1

+

1

a2

…+

1

a2014

的整數(shù)部分是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），可得a_n+1-a_n＞0，得到數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．再變形為a_n+1-1=a_n（a_n-1），即

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
也即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．利用“裂項(xiàng)求和”可得m，再利用其單調(diào)性即可得出m的整數(shù)部分．

解答： 解：∵a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），∴an+1-an=(an-1)2＞0，∴a_n+1＞a_n，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1）＞0，
∴

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=（

1

a1-1

-

1

a2-1

）+（

1

a2-1

-

1

a3-1

）+…+（

1

an-1

-

1

an+1-1

）=

1

a1-1

-

1

an+1-1

，
∴m=S2014=3-

1

a2015

．
∵a₁=

4

3

，∴a2=(

4

3

)2-

4

3

+1=

13

9

，a3=(

13

9

)2-

13

9

+1=

133

81

，a4=(

133

81

)2-

133

81

+1＞2…
∴a₂₀₁₅＞a₂₀₁₄＞…＞a₄＞2，
∴a₂₀₁₅-1＞1，∴0＜

1

a2015-1

＜1，
∴2＜3-

1

a2015-1

＜3．
因此m的整數(shù)部分是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過恰當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．