Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)系方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求∠AOB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

即為 ，消去t，可得直線l的普通方程為 x+y+4=0；

曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．即為ρ=4，（﹣1舍去），

由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x2+y2=16

（2）解：圓C的圓心為（0，0），半徑r=4，

C到直線的距離為d= =2，

|AB|=2 =2 =4 ，

由余弦定理可得cos∠AOB= = =﹣ ，

可得 ．

【解析】（1）運用特殊角的三角函數(shù)值及代入法，可得直線l的普通方程；解得ρ=4，由x2+y2=ρ2 ， 可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求得圓心到直線的距離，弦長AB，由余弦定理，計算即可得到所求∠AOB的值．