Question

設(shè)

m

=（1，0），

n

=（0，1），若向量

a

滿足|

a

-2

m

|+|

a

-

n

|=

5

，則|

a

+

n

|的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，

  2

  ]
• B、[

  3

  3

  ，

  3

  ]
• C、[

  4 5

  5

  ，

  5

  ]
• D、[

  5

  ，

  6

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意設(shè)出

a

的坐標(biāo)，并求出向量

a

-2

m

、

a

-

n

和

a

+

n

的坐標(biāo)，將所給的式子坐標(biāo)化，由式子設(shè)出各個(gè)點(diǎn)并將式子幾何化，判斷出M點(diǎn)的軌跡并求出軌跡方程，再將式子|

a

+

n

|轉(zhuǎn)化為幾何意義，利用圖形求出取值范圍．

解答： 解：設(shè)向量

a

=

OM

=（x，y），
則

a

-2

m

=（x-2，y），

a

-

n

=（x，y-1），

a

+

n

=（x，y+1）
由|

a

-2

m

|+|

a

-

n

|=

5

得，

(x-2)2+y2

+

x2+(y-1)2

=

5

，
設(shè)A（2，0）、B（0，1）、C（0，-1），
∵|AB|=

5

，∴|MA|+|MB|=|AB|，
則M點(diǎn)在線段AB上，即M點(diǎn)的軌跡為線段AB，
由A（2，0）和B（0，1）得，
M點(diǎn)的軌跡方程是x+2y-2=0（0≤x≤2），
∵|

a

+

n

|=

x2+(y+1)2

=|MC|，
∴|

a

+

n

|的取值范圍是：點(diǎn)C到線段AB的范圍，如右圖
則最小值是點(diǎn)C到線段AB的距離d=

|-2-2|

5

=

4 5

5

，
又|CA|=

5

，|CB|=2，則最大值是

5

，
綜上得，|

a

+

n

|的取值范圍是：[

4 5

5

，

5

]，
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的坐標(biāo)表示，點(diǎn)到直線的距離公式等，是直線與向量結(jié)合的綜合題，關(guān)鍵是將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，難度較大．