Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（0＜ω＜3）的一條對稱軸為x=$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式與最大值；
（2）設(shè)α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，f（$\frac{π}{3}$-β）=$\frac{24}{13}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由ωx+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的對稱軸，結(jié)合題意可得$\frac{π}{3}$=$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{3ω}$，k∈Z，可解得：ω=3k+1，k∈Z，結(jié)合0＜ω＜3，可得ω的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式與最大值．
（2）由f（α-$\frac{π}{6}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，可解得：sinα，由f（$\frac{π}{3}$-β）=2sin（$\frac{π}{3}$-β+$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{24}{13}$，可解得：cosβ，結(jié)合范圍α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，由同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cosα，sinβ，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∴由ωx+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的對稱軸為：x=$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{3ω}$，k∈Z，
∵一條對稱軸為x=$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{π}{3}$=$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{3ω}$，k∈Z，可解得：ω=3k+1，k∈Z，
∵0＜ω＜3，
∴ω=1．
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），其最大值為2．
（2）∵f（α-$\frac{π}{6}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，可解得：sinα=$\frac{4}{5}$，
∵f（$\frac{π}{3}$-β）=2sin（$\frac{π}{3}$-β+$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{24}{13}$，可解得：cos$β=\frac{12}{13}$，
∵α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}+\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，兩角和與差的余弦函數(shù)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．