Question

已知橢圓C：（a＞b≥0），其離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為．
（1）求a，b之值；
（2）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按順時(shí)針方向排列），求P點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)c為橢圓的焦半徑，則，于是有a=5，c=4，∴b=3．
（2）解法一：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（s，t），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）．
于是有．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129449.png' />，所以有（s-6，t）（x-6，y）=（s-6）（x-6）+ty=0． ①
又因?yàn)椤鰽BP為等腰直角三角形，所以有|AB|=|AP|，即． ②
由①推出，代入②得t²=（x-6）²
從而有 y²=（s-6）²，即s=6+y（不合題意，舍去）或s=6-y．
代入橢圓方程，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
解法二：設(shè)B（x₁，y₁），P（x，y），|AB|=r，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為．
設(shè)AB與x軸正方向夾角為θ，B點(diǎn)的參數(shù)表示為，
P點(diǎn)的參數(shù)表示為，即．
從上面兩式，得到．
又由于B點(diǎn)在橢圓上，可得．
此即為P點(diǎn)的軌跡方程．
分析：（1）根據(jù)橢圓C：（a＞b≥0），其離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為，我們可以得到幾何量之間的關(guān)系，由此可以求a，b之值；
（2）解法一：利用等腰直角△ABP條件，尋找B與P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
解法二：利用圓的參數(shù)方程，尋找B與P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：橢圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，是我們思路的關(guān)鍵，利用代入法求解兩動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，是我們解決這類問題的常用方法．