Question

（2012•青島一模）已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于零，且a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的兩個(gè)根；各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足b₃=a₃，S₃=13．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足cn=

an ，n≤5 bn  ，n＞5

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，由題意及a₂＜a₄，可求a₂，a₄，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a₁，d，可求a_n，然后由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和可求b₁，q，可求
（2）當(dāng)n≤5時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a_n，利用等差數(shù)列的求和公式可求，當(dāng)n＞5時(shí)，T_n=T₅+（b₆+b₇+…+b_n），利用分組求和及等差、等比數(shù)列的求和公式可求

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則
由x²-18x+65=0解得x=5或x=13
因?yàn)閐＞0，所以a₂＜a₄，則a₂=5，a₄=13
則

a1+d=5 a1+3d=13

，解得a₁=1，d=4
所以a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
因?yàn)?span id="f4yf6xq" class="MathJye">

b3=b1q2=9 b1+b1q+b1q2=13

，因?yàn)閝＞0，解得b₁=1，q=3
所以bn=3n-1…（7分）
（2）當(dāng)n≤5時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a_n
=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n…（9分）
當(dāng)n＞5時(shí)，T_n=T₅+（b₆+b₇+…+b_n）
=(2×52-5)+

33(1-3n-5)

1-3

=

3n-153

2

所以Tn=

2n2-n，n≤5 3n-153 2 ，n＞5

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義．運(yùn)用基本量的思想求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．考查分段函數(shù)、數(shù)列的求和的基本方法．運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．