Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為-2．
（i）求f（x）的解析式；
（ii）求證：當(dāng)．

Answer 1

解：由題意可得，f（x）定義域為（0，+∞）
（I）對函數(shù)求導(dǎo)可得，
①a≥0時，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，，由f′（x）＜0可得
∴f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減
②a＜0時，令f′（x）=0可得x₁=或
（i）當(dāng)-2＜a＜0時
由f′（x）＜0可得，由f′（x）＞0可得
故f（x）在單調(diào)遞減，在（0，），單調(diào)遞增
（ii）當(dāng)a＜-2時，同理可得f（x）在（-）單調(diào)遞減，在（0，-），單調(diào)遞增
（iii）當(dāng)a=-2時，
∴f（x）在（0，+∞）增…..（6分）
（II）（i）解：由（I）知）知f′（x）=-（a+1）=-2
∴a=1
∴f（x）=lnx-x²-x…．（8分）
（ii）證明：
=
令
故當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
∴g（x）＜g（1）=0，又
∴
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0
又，
∴
綜上所述，x＞0且x≠0時，…（14分）
分析：由題意可得，f（x）定義域為（0，+∞）
（I）對函數(shù)求導(dǎo)可得，，要討論函數(shù)的單調(diào)性，只要討論a的范圍判斷f′（x）的符號
（II）（i）由（I）知f′（x）=-（a+1）=-2可求a，從而可求f（x）
（ii）由于=，令對函數(shù)g（x）求導(dǎo)可得g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，可證
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義在切線的求解中的應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式中的應(yīng)用，屬于中檔試題