Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（1）若函數(shù)f（x）在x=-1時取到極值，求實數(shù)a的值；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調性；
（3）當a＞1時，在曲線y=f（x）上是否存在這樣的兩點A，B，使得在點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，若存在，試求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得 f′（x）=3ax²-6x（a≠0），由此利用導數(shù)性質能求出實數(shù)a的值．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，由此利用分類討論思想和導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的單調性．
（3）假設存在滿足要求的兩點A，B，即在點A、B處的切線都與y軸垂直，由此能求出當3≤a≤4時，存在滿足要求的點A、B．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

，∴f′（x）=3ax²-6x（a≠0）
∵函數(shù)f（x）在x=-1時取到極值，
∴f′（-1）=3a+6=0，解得a=-2，
經(jīng)檢驗a=-2時，函數(shù)f（x）在x=-1時取到極小值，
∴實數(shù)a的值為-2．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，
①當a＜0時，

2

a

＜0，由f′（x）＞0，得

2

a

＜x＜0，
由f′（x）＜0，得x＜

2

a

或x＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（

2

a

，0），單調減區(qū)間為（-∞，

2

a

），（0，+∞）．
②當a＞0時，

2

a

＞0，同理可得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，

2

a

），（0，+∞），
單調減區(qū)間為（

2

a

，0）．
（3）假設存在滿足要求的兩點A，B，
即在點A、B處的切線都與y軸垂直，
則k_A=k_B=0，即f′（x）=3ax²-6x=0，解得x=0或x=

2

a

，
∴A（0，1-

3

a

），B（

2

a

，-

4

a2

+1-

3

a

），
又線段AB與x軸有公共點，∴y_Ay_B≤0，
即（10，

3

a

）（-

4

a2

+1-

3

a

）≤0，又a＞1，解得3≤a≤4，
所以當3≤a≤4時，存在滿足要求的點A、B．

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，利用函數(shù)的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．