Question

已知空間直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）則經(jīng)過O、A、B、C四點(diǎn)的球的體積為（　　）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，經(jīng)過O、A、B、C四點(diǎn)的球就是以O(shè)A、OB、OC作為長(zhǎng)、寬和高的長(zhǎng)方體的外接球，因此計(jì)算出該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，結(jié)合球的體積公式即可算出經(jīng)過O、A、B、C四點(diǎn)的球的體積．

解答：解：∵A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0），原點(diǎn)O（0，0，0）
∴OA、OB、OC兩兩互相垂直，OA=3，OB=4，OC=5
因此以O(shè)A、OB、OC為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高，作一個(gè)長(zhǎng)方體，
則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為

32+4 2+52

=5

2

∴長(zhǎng)方體的外接球直徑等于5

2

，即經(jīng)過O、A、B、C四點(diǎn)的球直徑為5

2

因此，經(jīng)過O、A、B、C四點(diǎn)的球的體積為

4π

3

×(

5 2

2

)3=

125 2

3

π
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出兩兩互相垂直的三條線段OA、OB、OC，求經(jīng)過O、A、B、C四點(diǎn)的球的體積．著重考查了多面體的外接球性質(zhì)、球的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．