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如圖，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB與平面ABCD所成的角為30°，PB與平面PCD所成的角為45°，求：
（1）PB與CD所成角的大小；
（2）二面角C-PB-D的大�。�
分析：（1）以D為原點，以DA，DC，DP方向，分別作x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，分別求出PB與CD的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到PB與CD所成角的大��；
（2）分別求出平面PBC與平面PBD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C-PB-D的大�。�
解答：（本小題滿分12分）
解：根據題意，可知PD=CD=1，BC=
2
，以D為原點，以DA，DC，DP方向，分別作x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系：
則C（0，1，0），B（
2
，1，0），P（0，0，1）．
（1）
DC
=（0，1，0），
PB
=（
2
，1，-1），cos＜
DC
，
PB
＞=
DC
•
PB
|
DC
|•|
PB
|
=
1
2
，
即PB與CD所成的角為60°；
（2）由
PC
=（0，1，-1），
設
m
=（x，y，z）是平面PBC的一個法向量，則
m
•
PC
=0，
m
•
PB
=0得y=z，x=0令y=z=1得
m
=（0，1，1）．
同理可求得平面PBD的一個法向量為
n
=（1，-
2
，0），cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=-
3
3
，
因為二面角C-PB-D為銳二面角，于是二面角C-PB-D為arccos
3
3
點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，二面角的平面角及其求法，其中建立空間坐標系將線線夾角及面面夾角問題，轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．解答中易忽略二面角C-PB-D為銳二面角，而錯解為二面角C-PB-D為arccos（-
3
3
）．
練習冊系列答案
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3
，BC=4
3
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AG
•
AC
=（　�。�

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3
2
10
，求λ的值．

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