Question

已知△ABC的三邊AB，BC，CA的長成等差數(shù)列，且|AB|＞|CA|，又B（-1，0），C（1，0），求點A的軌跡方程，并指明它是什么曲線．

Answer 1

解：已知AB、BC、CA成等差數(shù)列，則：|AB|+|AC|=2|BC|
∵點B（-1，0），C（1，0），∴|BC|=2
所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4
按照橢圓的定義，點A的軌跡就是以B、C為焦點，到B、C距離之和為4的橢圓
∵焦點B、C在x軸上，故設(shè)橢圓為（a＞b＞0）
由已知有：c=1，a=2
所以，b²=a²-c²=4-1=3
又已知|AB|＞|AC|
所以點A位于上述橢圓的右半部分，且點A不能與B、C在同一直線（x軸）上（否則就不能構(gòu)成三角形）
所以，點A的軌跡方程是：（0＜x＜2）
分析：通過等差數(shù)列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照橢圓的定義，點A的軌跡就是以B、C為焦點，到B、C距離之和為4的橢圓，從而進一步可求橢圓的方程．
點評：本題是中檔題，考查橢圓的定義，等差數(shù)列的應(yīng)用，正確運用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵，同時應(yīng)注意變量的范圍．