函數(shù)。定義數(shù)列如下：是過兩點的直線與x軸交點的橫坐標。
（1）證明：；
（2）求數(shù)列的通項公式。
解：（1）因為，
故點在函數(shù)的圖像上，
故由所給出的兩點，
可知，直線斜率一定存在。
故有直線的直線方程為，令，
可求得
所以
下面用數(shù)學歸納法證明
當時，，滿足
假設時，成立，
則當時，，
由
即也成立
綜上可知對任意正整數(shù)恒成立。
下面證明
由
由，
故有
即
綜上可知恒成立。
（2）由得到該數(shù)列的一個特征方程
即，解得或    ①     ②
兩式相除可得，而
故數(shù)列是以為首項以為公比的等比數(shù)列

故。
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)，其中.定義數(shù)列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數(shù)m，使構成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)，其中.定義數(shù)列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數(shù)m，使構成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012年高考（大綱理））(注意:在試卷上作答無效)

函數(shù).定義數(shù)列如下:是過兩點的直線與軸交點的橫坐標.

(1)證明:;

(2)求數(shù)列的通項公式.

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省六校聯(lián)合體高三第二次聯(lián)考數(shù)學文卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

已知函數(shù)，其中.定義數(shù)列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數(shù)m，使構成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

 

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