若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
（Ⅰ）求的極值；
（Ⅱ）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．
（Ⅱ）函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解析試題分析：（Ⅰ） ，
．                      2分
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；            3分
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；          4分
∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．            5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)． 可設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為：，即．                                
由 ，可得，當(dāng)時(shí)恒成立．
，     由，得．             6分
下面證明 ，當(dāng)時(shí)恒成立．
令，則
，
當(dāng)時(shí)，．                 8分
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．             10分
從而 ，即 恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．            12分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線切線的斜率，等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。本題涉及“新定義”及存在性探究問題，在理解“新定義”的基礎(chǔ)上，將存在性問題的探究，轉(zhuǎn)化成函數(shù)不等式恒成立問題，從而通過構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的單調(diào)性、明確函數(shù)的極值，達(dá)到解題目的。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x.
（1）求f(π)的值； 
（2）當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；
（3）寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

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求函數(shù)在區(qū)間上的最值．

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已知函數(shù).
（1）確定的值，使為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，求的值域。

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已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，求的取值范圍.

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已知函數(shù)，
（1）討論單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，證明：。

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已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線的斜率是．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值；
（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為
直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，
（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求的值及該切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的，證明：當(dāng)時(shí)， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于都有成立，試求的取值范圍；
（Ⅲ）記．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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