Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），P是平面上一點(diǎn)，使三角形PF₁F₂的周長(zhǎng)為18．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）在P點(diǎn)的軌跡上是否存在點(diǎn)P₁、P₂，使得順次連接點(diǎn)F₁、P₁、F₂、P₂所得到的四邊形F₁P₁F₂P₂是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性和矩形的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）依題意，|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=18，∴|F₁F₂|=8，
∴|PF₁|+|PF₂|=10，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且2a=10，2c=8，
∴a=5，c=4，b=

52-42

=3，橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，
∵PF₁F₂是三角形，點(diǎn)P不在直線(xiàn)F₁F₂上（即不在x軸上），
∴點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）．
（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，F(xiàn)₁P₁F₂P₂是矩形當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)P₁P₂經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且∠F₁P₁F₂是直角，此時(shí)|OP1|=

1

2

|F1F2|=4（或kP1F1•kP1F2=-1），
設(shè)P₁（x，y），則

x2 25 + y2 9 =1 x2+y2=16

，解得

x2= 175 16 y2= 81 16

，

x=± 5 7 4 y=± 9 4

，
∴有2個(gè)這樣的矩形F₁P₁F₂P₂，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P₁、P₂分別為(

5 7

4

，

9

4

)、(-

5 7

4

，-

9

4

)或(-

5 7

4

，

9

4

)、(

5 7

4

，-

9

4

)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義、橢圓的對(duì)稱(chēng)性和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．