Question

如圖所示，某人在斜坡P處仰視正對(duì)面山頂上一座鐵塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，觀測(cè)者所在斜坡CD近似看成直線，斜坡與水平面夾角為α，tanα=

1

2

（1）以射線OC為Ox軸的正向，OB為Oy軸正向，建立直角坐標(biāo)系，求出斜坡CD所在直線方程；
（2）當(dāng)觀察者P視角∠APB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（人的身高忽略不計(jì)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)斜坡與水平面夾角的正切值推斷出直線CD的斜率，根據(jù)0C確定C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求得直線CD的方程．
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)PA≥OC判斷出∠APB為銳角，進(jìn)而根據(jù)直線AP，PB的斜率求得tan∠APB的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式求得最大值．進(jìn)而求得x，y即P點(diǎn)坐標(biāo)和角的最大值．

解答：解：（1）依題意可知CO=200
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（200，0）
∵tanα=

1

2

∴直線CD的斜率為

1

2

∴直線CD方程為：y=

1

2

(x-200)
（2）記P（x，y），
∵PA≥OC=200＞AB，
∴∠APB為銳角
tan∠APB=|

kPA-kPB

1+kPA•kPB

|=|

y-220 x - y-300 x

1+ y-220 x • y-300 x

|
=

80

5x 4 + 128000 x -360

≤

2

11

等號(hào)當(dāng)

5x

4

=

128000

x

即x=320，y=60時(shí)取到
∴當(dāng)觀測(cè)者位于P（320，60）處視角最大為arctan

2

11

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．