Question

18．如圖，已知拋物線x²=8y被直線y=4分成兩個(gè)區(qū)域W₁，W₂（包括邊界），圓C：x²+（y-m）²=r²（m＞0）．
（1）若m=3，則圓心C到拋物線上任意一點(diǎn)距離的最小值是3；
（2）若圓C位于W₂內(nèi)（包括邊界）且與三側(cè)邊界均有公共點(diǎn)，則圓C的半徑是4+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過題意，即求圓C與拋物線的交點(diǎn)到圓心的最小距離，利用不等式求$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$的最小值即可；
（2）圓C位于W₂內(nèi)（包括邊界）且與三側(cè)邊界均有公共點(diǎn)，即圓C與邊界均相切．聯(lián)立圓C與拋物線方程，令△=0，同時(shí)m-4=r，計(jì)算即可．

解答 解：（1）若m=3，記圓C與拋物線的交點(diǎn)到圓心的距離為d（=r），
則d=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$
=$\sqrt{8y+（y-3）^{2}}$
=$\sqrt{（y+1）^{2}+8}$，
∵8y=x²≥0，即y≥0，
∴$\sqrt{（y+1）^{2}+8}$≥$\sqrt{（0+1）^{2}+8}$=3，
即d_min=3；
（2）聯(lián)立圓C與拋物線方程，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=8y}\\{{x}^{2}+（y-m）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
化簡得y²+（8-2m）y+m²-r²=0，
∴△=（8-2m）²-4（m²-r²）
=4（r²-8m+16），
∵圓C位于W₂內(nèi)（包括邊界）且與三側(cè)邊界均有公共點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{m-4=r}\end{array}\right.$，消去m得r²-8r-16=0，
解得r=$4+4\sqrt{2}$；
故答案為：3，$4+4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合，注意解題方法的積累，屬于中檔題．