Question

12．設(shè)集合A={x|2（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-7log2x+3≤0}，若當(dāng)x∈A時，函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$的最大值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 解對數(shù)不等式可得A=[$\sqrt{2}$，8]，令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，則y=f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$=t²-（a+2）t+2a，結(jié)合函數(shù)的最大值為2和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可是答案．

解答 解：令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
則2（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-7log₂x+3≤0，可化為：2（log₂x）²-7log₂x+3≤0，即2t²-7t+3≤0，即
解得：t=log₂x∈[$\frac{1}{2}$，3]，
即x∈[$\sqrt{2}$，8]，
即A=[$\sqrt{2}$，8]，
函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$=（log₂x-a）（log₂x-2）=（t-a）（t-2）=t²-（a+2）t+2a的圖象是開口朝上，且以直線t=$\frac{1}{2}$（a+2）為對稱軸的拋物線，
由x∈A得：
當(dāng)$\frac{1}{2}$（a+2）≤$\frac{\frac{1}{2}+3}{2}$，即a≤$\frac{3}{2}$時，函數(shù)f（x）的最大值3-a=2，解得a=1，
當(dāng)$\frac{1}{2}$（a+2）＞$\frac{\frac{1}{2}+3}{2}$，即a＞$\frac{3}{2}$時，函數(shù)f（x）的最大值$\frac{3}{2}$a-$\frac{3}{4}$=2，解得a=$\frac{11}{6}$，
綜上可得a=1，或a=$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)不等式的解法，難度中檔．