Question

已知點(diǎn)在橢圓:上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),若, 求直線的方程;

（3）作直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）. (2) 或； （3）或.

【解析】

試題分析：（1）由題意知,在中, 可得.

設(shè)為圓的半徑,為橢圓的半焦距

由建立方程組，,解得:.

根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,有結(jié)合,解得.

(2)由題意知直線的斜率存在,故設(shè)直線方程為

設(shè),利用 ,求得代人橢圓方程求 .

（3）根據(jù): , 設(shè).

根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達(dá)定理得,則,

所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

注意討論，的情況，確定的表達(dá)式，求得實(shí)數(shù)的值.

方法比較明確，運(yùn)算繁瑣些；分類討論是易錯之處.

試題解析：（1）由題意知,在中,

由得:

設(shè)為圓的半徑,為橢圓的半焦距

因?yàn)?/span>所以

又,解得:,則點(diǎn)的坐標(biāo)為 2分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓：上,所以有

又,解得:

所求橢圓的方程為. 4分

(2)由(1)知橢圓的方程為

由題意知直線的斜率存在,故設(shè)其斜率為,

則其方程為

設(shè),由于,所以有

7分

又是橢圓上的一點(diǎn),則

解得

所以直線的方程為或 9分

（3）由題意知: :

由, 設(shè)

根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達(dá)定理得,則,

所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

(1)當(dāng)時(shí), 則有,線段垂直平分線為軸

于是

由,解得: 11分

(2) 當(dāng)時(shí), 則線段垂直平分線的方程為

因?yàn)辄c(diǎn)是線段垂直平分線的一點(diǎn)

令,得:

于是

由,解得:

代入,解得:

綜上, 滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或. 14分

考點(diǎn)：橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.