在如圖所示的四棱錐中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,點E是PB的中點.
(I)證明:BC⊥PC;
(Ⅱ)證明:AE∥平面PDC;
(Ⅱ)證明:平面PAB⊥平面PBC.
分析:(I)證明BC⊥平面PDC,可得BC⊥PC;
(Ⅱ)證明四邊形AEFD是平行四邊形,可得AE∥DF,利用線面平行的判定,可以證明AE∥平面PDC;
(Ⅱ)證明DF⊥平面PBC,利用DF∥AE,可得AE⊥平面PBC,利用面面垂直的判定可得平面PAB⊥平面PBC.
解答:證明:(I)∵PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD.
∵∠BCD=90°,∴BC⊥CD,∴BC⊥平面PDC,
∵PC?平面PDC,∴BC⊥PC(2分)
(II)取PC的中點F,連結(jié)DF,EF.
∵EF∥BC,AD∥BC
,∴EF∥AD,∴EF=AD
∴四邊形AEFD是平行四邊形.
∴AE∥DF.
又DF?平面PDC,AE?平面PDC,
∴AE∥平面PDC.(5分)
(III)∵BC⊥平面PDC,DF?平面PDC,∴BC⊥DF
又∵PD=DC,F(xiàn)是PC的中點,∴DF⊥PC,∴DF⊥平面PBC
又∵DF∥AE,∴AE⊥平面PBC
又∵AE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PBC(7分)
點評:本題考查線面垂直、線面平行,面面垂直,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分12分)

在如圖所示的四棱錐中,已知 PA⊥平面ABCD, ,,

的中點.

(1)求證:MC∥平面PAD;

(2)求直線MC與平面PAC所成角的余弦值;

(3)求二面角的平面角的正切值.

 

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在如圖所示的四棱錐中,底面ABCD是直角梯形,ADBC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,點E是PB的中點.
(I)證明:BC⊥PC;
(Ⅱ)證明:AE平面PDC;
(Ⅱ)證明:平面PAB⊥平面PBC.
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在如圖所示的四棱錐中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,點E是PB的中點.
(I)證明:BC⊥PC;
(Ⅱ)證明:AE∥平面PDC;
(Ⅱ)證明:平面PAB⊥平面PBC.

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