【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,g(x)=2x+ax3,a為實(shí)常數(shù).
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=-1時,證明:存在x0∈(0,1),使得y=f(x)和y=g(x)的圖象在x=x0處的切線互相平行.
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)代入a的值,令h(x)=f′(x)﹣g′(x)=ex﹣e﹣x﹣2+3x2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
(1)g′(x)=3ax2+2,
當(dāng)a≥0時,g′(x)>0故g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,+∞).
當(dāng)a<0時,令g′(x)≥0得x,g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[x],
g(x)的單調(diào)減區(qū)間為:(﹣∞,),(,+∞)
(2)當(dāng)a=﹣1時,f′(x)=ex﹣e﹣x,g′(x)=2﹣3x2,
x0∈(0,1),使得y=f(x)和y=g(x)的圖象在x=x0處的切線互相平行.
即x0∈(0,1)使得f′(x0)=g′(x0),且f(x0)≠g(x0),
令h(x)=f′(x)﹣g′(x)=ex﹣e﹣x﹣2+3x2,
h(0)=﹣2<0,h(1)=e2+3>0,
∴x0∈(0,1)使得f′(x0)=g′(x0).
∵當(dāng)x∈(0,)時,g′(x)>0,當(dāng)x∈(,1)時g′(x)<0,
∴所以g(x)在區(qū)間(0,1)的最大值為g(),g()2.
而f(x)=ex+e﹣x≥22,
∴x∈(0,1)時f(x)>g(x)恒成立,∴f(x0)≠g(x0).
從而當(dāng)a=﹣1時,:x0∈(0,1),使得y=f(x)和y=g(x)的圖象在x=x0處的切線互相平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近期,某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動,活動設(shè)置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表l所示:
表1
根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如右圖所示的散點(diǎn)圖.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),(c,d均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由);
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次;
參考數(shù)據(jù):
其中
參考公式:
對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長度)的直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為: (為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;
(2)將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線,若, 分別是曲線和曲線上的動點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某群體的人均通勤時間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)中()的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:
(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?
(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個頂點(diǎn)及中點(diǎn)處.為處理這三角工廠的污水,在該正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)與等距的點(diǎn)處建一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道,記輔設(shè)管道總長為千米.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(i)設(shè),將表示成的函數(shù);
(ii)設(shè),將表示成的函數(shù);
(2)請你選用一個函數(shù)關(guān)系,確定污水廠位置,使鋪設(shè)管道總長最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首屆中國國際進(jìn)口博覽會于2018年11月5日至10日在上海的國家會展中心舉辦.國家展、企業(yè)展、經(jīng)貿(mào)論壇、高新產(chǎn)品匯集……首屆進(jìn)博會高點(diǎn)紛呈.一個更加開放和自信的中國,正用實(shí)際行動為世界構(gòu)筑共同發(fā)展平臺,展現(xiàn)推動全球貿(mào)易與合作的中國方案.
某跨國公司帶來了高端智能家居產(chǎn)品參展,供購商洽談采購,并決定大量投放中國市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬美元,每生產(chǎn)一臺需另投入90美元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完,每萬臺的銷售收入為萬美元,
(1)寫出年利潤(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬臺)的函數(shù)解析式;(利潤=銷售收入-成本)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時,該公司獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(,且),,(其中為的導(dǎo)函數(shù)).
(1)當(dāng)時,求的極大值點(diǎn);
(2)討論的零點(diǎn)個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn);
(2)已知T(,)為函數(shù),的公共點(diǎn),且函數(shù),在點(diǎn)T處的切線相同,求a的值;
(3)若函數(shù)在(0,)上的零點(diǎn)個數(shù)為2,求a的取值范圍.
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