Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，f（2）=1
（Ⅰ） 求f（1），f(

1

2

)，f（16）的值；                  
（Ⅱ） 求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；               
（Ⅲ） 求方程4sinx=f（x）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用賦值法，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1）；然后令m=2 n=

1

2

，即可求出f(

1

2

)的值；再根據(jù)f（16）=2f（4）=4f（2），求得f（16）的值．
（Ⅱ）先在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知結(jié)論．
（Ⅲ）分別畫出y=4sinx的圖象與y=f（x）的圖象，結(jié)合圖象以及函數(shù)的單調(diào)性判定出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：（Ⅰ）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
令m=2 n=

1

2

，則f（1）=f（2×

1

2

）=0=f（2）+f（

1

2

），∴f（

1

2

）=-f（2）=-1．
f（16）=2f（4）=4f（2）=4．
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0，∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁），∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
所以，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅲ） ）∵y=4sinx的圖象如右圖所示
又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的圖象大致形狀如右圖所示，
由圖象在[0，2π]內(nèi)有1個(gè)交點(diǎn)，
在（2π，4π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，
在（4π，5π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的圖象均在y=4sinx圖象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的個(gè)數(shù)為5個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．