Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分別為A₁B和B₁C₁的中點，

（1）求證：直線MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若A₁B⊥B₁C，A₁N⊥B₁C₁，求證：B₁C⊥AC₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）要證明直線MN∥平面AA₁C₁C，可用直線和平面平行的判定定理，結合已知M、N分別為A₁B和B₁C₁的中點，想到連接AB₁，由三角形的中位線的性質得結論；
（2）要證B₁C⊥AC₁，由于MN∥AC₁，可證B₁C⊥MN，結合已知條件證明B₁C⊥平面A₁BN，則結論得證．

解答： 證明：（1）如圖，

連接AB₁，則M為AB₁中點，
又N為B₁C₁中點，MN∥AC₁，AC₁?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
∴直線MN∥平面AA₁C₁C；
（2）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，∴B₁B⊥A₁N，
∵A₁N⊥B₁C₁，B₁B∩B₁C₁=B₁，
∴A₁N⊥平面B₁BCC₁，
∴A₁N⊥B₁C，
∵A₁B⊥B₁C，A₁N∩A₁B=A₁，
∴B₁C⊥平面A₁BN，
又MN?平面A₁BN，
∴B₁C⊥MN，
∴B₁C⊥AC₁

點評：本題考查了直線與平面垂直的判斷與性質，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．