Question

已知橢圓C：與雙曲線-y²=1有公共焦點(diǎn)，且離心率為．A，B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)．點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動點(diǎn)．直線AS，BS分別與直線l：x=分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）延長MB交橢圓C于點(diǎn)P，若PS⊥AM，試證明MS²=MB•MP．
（3）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積為？若存在確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可確定橢圓的焦點(diǎn)，利用橢圓的離心率，即可求出橢圓的方程；
（2）引入直線AS的斜率k，用點(diǎn)斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)S的坐標(biāo)，又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，從而可得，利用PS⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．
（3）線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式利用基本不等式法求最值，從而求出直線SB的方程要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．
解答：（1）解：∵橢圓C：與雙曲線-y²=1有公共焦點(diǎn)
∴橢圓C的焦點(diǎn)為，
∴，
又∵，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為．…（3分）
（2）證明：直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)S（x₁，y₁），則得，從而         …（5分）
即
又B（2，0），從而，
∴，
∴，
又因?yàn)镻S⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．…（7分）
（3）解：由得
∴
又k＞0，∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立
∴時(shí)，線段MN的長度取最小值
此時(shí)BS的方程為，∴       …（9分）
要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，
所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l'上．
設(shè)直線l'：x+y+t=0，則由，解得或．
當(dāng)時(shí)，由，得5x²-12x+5=0
由于△=44＞0，故直線l'與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由得5x²-20x+21=0，
由于△=-20＜0，故直線l'與橢圓沒有交點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓C上僅存在兩個(gè)不同的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為．…（12分）
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對直線與圓錐曲線位置關(guān)系中特征有較好的理解，正確理解題意，合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．