Question

18．已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=（ax+2）lnx，g（x）=bx²+4-5，且曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在x=1處有相同的切線．
（1）求a，b的值；
（2）證明：當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y=f（x）恒在曲線y=g（x）的下方．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=a（lnx+1）+$\frac{2}{x}$，g′（x）=2bx+4；從而可得b+4-5=0，a+2=2b+4；從而求參數(shù)的值；
（2）要使得當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y=f（x）恒在曲線y=g（x）的下方，只證f（x）＜g（x）（x≠1），不妨設(shè)F（x）=f（x）-g（x），從而求導(dǎo)F′（x）=4lnx+$\frac{4x+2}{x}$-2x-4=4lnx+$\frac{2}{x}$-2x；從而化為恒成立問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．

解答 解：（1）∵f′（x）=a（lnx+1）+$\frac{2}{x}$，g′（x）=2bx+4；
∴f′（1）=a+2，g′（1）=2b+4；
又∵曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，0）處有相同的切線，
∴f（1）=0=g（1）=b+4-5，f′（1）=g′（1）；
即b+4-5=0，a+2=2b+4；
從而解得，b=1，a=4；
（2）證明：要使得當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y=f（x）恒在曲線y=g（x）的下方，
即需證f（x）＜g（x）（x≠1），
不妨設(shè)F（x）=f（x）-g（x），
則F（x）=（4x+2）lnx-x²-4x+5；
∴F′（x）=4lnx+$\frac{4x+2}{x}$-2x-4=4lnx+$\frac{2}{x}$-2x；
令G（x）=F′（x），
∴G′（x）=$\frac{4}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$-2≤0恒成立，
∴F′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵F′（1）=0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值F（1）=0．
∴當(dāng)x≠1時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）；
∴當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y=f（x）恒在曲線y=g（x）的下方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．