Question

若直線l與圓C：x²+y²-4y+2=0相切，且與兩條坐標軸圍成一個等腰直角三角形，則此三角形的面積為________．

Answer 1

8
分析：把圓C的方程化為標準方程，找出圓心C的坐標與半徑r，根據(jù)直線l與坐標軸圍成的三角形為等腰直角三角形，可得直線l的斜率為1或-1，可設(shè)直線l為y=-x+a（或y=x+b），根據(jù)直線l與圓相切，可得圓心到直線的距離d=r，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出直線l的方程，進而求出直線l與兩坐標軸的交點坐標，可求出所求三角形的面積．
解答：把圓的方程化為標準方程得：x²+（y-2）²=2，
∴圓心C的坐標為（0，2），半徑r=，
由直線l與兩條坐標軸圍成一個等腰直角三角形，
不妨設(shè)直線l為y=-x+a，
∵直線l與圓C相切，∴圓心到直線l的距離d==r=，
即2-a=2或2-a=-2，解得：a=0（舍去）或a=4，
∴直線l的方程為y=-x+4，
∴直線l與x軸的交點坐標為（4，0），與y軸的交點坐標為（0，4）；
若直線l設(shè)為y=x+b，同理可得b=4，即直線l為y=x+4，
此時直線l與x軸的交點坐標為（-4，0），與y軸的交點坐標為（0，4），
綜上，直線l與坐標軸圍成三角形面積S=×4×4=8．
故答案為：8
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運用此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．