Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₁≠0，S_n=

2an

a1

-1，n∈N^*
（1）求a₁，a₂，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分別取n=1，2，3，4，利用遞推思想能求出數(shù)列的前4項，總結(jié)規(guī)律猜想an=2n-1．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（2）na_n=n•2^n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{na_n}前n項和．

解答： 解：（1）∵S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁≠0，S_n=

2an

a1

-1，n∈N^*，
∴a₁=S₁=

2a1

a1

-1=1，
S₂=1+a₂=

2a2

1

-1，解得a₂=2，
S3=3+a3=

2a3

1

-1，解得a₃=4，
S₄=7+a₄=

2a4

1

-1，解得a₄=8．
由此猜想an=2n-1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時，a1=21-1=1，成立．
②假設(shè)n=k時成立，即ak=2k-1，
則n=k+1時，S_k+1=2⁰+2+2²+…+2^k-1+a_k+1=

2ak+1

1

-1，
∴

1-2k

1-2

+a_k+1=2a_k+1-1，
∴a_k+1=2^k，也成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式an=2n-1．
（2）na_n=n•2^n-1，設(shè)數(shù)列{na_n}前n項和為T_n．
則Tn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，①
2Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，②
①-②，得：-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=

1-2n

1-2

-n•2n，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∴數(shù)列{na_n}前n項和為（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．