Question

已知函數(shù)y=x²和y=

8

x

的圖象都過(guò)點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線(xiàn)

x

m

+

y

2n

=1（m＞0，n＞0）上，則log₂m+log₂n的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：聯(lián)立

y=x2 y= 8 x

解得A（2，4）代入直線(xiàn)

x

m

+

y

2n

=1（m＞0，n＞0），可得

1

m

+

1

n

=

1

2

．利用基本不等式的性質(zhì)可得mn≥16．再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得log₂m+log₂n=log₂（mn）．

解答： 解：聯(lián)立

y=x2 y= 8 x

解得

x=2 y=4

，∴A（2，4）代入直線(xiàn)

x

m

+

y

2n

=1（m＞0，n＞0），可得

2

m

+

4

2n

=1，
化為

1

m

+

1

n

=

1

2

．
∴

1

2

≥2

1 m × 1 n

，化為mn≥16．
∴l(xiāng)og₂m+log₂n=log₂（mn）≥log₂16=4，
∴l(xiāng)og₂m+log₂n的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線(xiàn)的交點(diǎn)、基本不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．