【題目】已知橢圓C：（）的焦距為，且右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形.若直線l與橢圓C交于、，且在橢圓C上存在點M，使得：（其中O為坐標原點），則稱直線l具有性質H.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質H，求直線l的方程；

（3）求證：在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線、、都具有性質H.

【答案】（1）（2）；（3）證明見解析；

【解析】

(1)根據(jù)正三角形中的長度關系列出的關系求解即可.

(2) 設直線,再求得滿足的關系式,進而代入化簡求解即可.

(3)假設存在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R滿足條件,再將對應的點坐標代入橢圓方程,分情況討論得出矛盾即可.

(1),所以,

又右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形,所以,

因為,

解得：,,

所以,橢圓方程為：

(2)設直線,則,

其中滿足：,,

設,

∵（其中O為坐標原點）,

∴,

∵點在橢圓上,

∴,

∴,

∴,

∴直線的方程為或.

(3) 證明：假設在橢圓上存在三個不同的點,

使得直線都具有性質,

∵直線具有性質,

∴在橢圓上存在點M,使得：,

設,則,,

∵點在橢圓上,∴,

又∵,,代入化簡得,①

同理：②, ,③

1)若中至少一個為0,不妨設,則,

由①③得,即為長軸的兩個端點,則②不成立,矛盾。

2)若均不為0,則由①②③得,矛盾。

∵在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R,使得直線、、都具有性質H.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖，平面，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.

（1）求圓C的直角坐標方程及直線的斜率；

（2）直線與圓C交于M，N兩點，中點為Q，求Q點軌跡的直角坐標方程.

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【題目】給定數(shù)列，記該數(shù)列前項中的最大項為，即，該數(shù)列后項中的最小項為，記，；

（1）對于數(shù)列：3，4，7，1，求出相應的，，；

（2）若是數(shù)列的前項和，且對任意，有，其中為實數(shù)，且，.

（�。┰O，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（ⅱ）若數(shù)列對應的滿足對任意的正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】(數(shù)學文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請研究和理解球的體積公式求法的基礎上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程為 ，將此橢圓繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______．

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【題目】已知橢圓的左焦點為，經過點的直線與橢圓相交于，兩點，點為線段的中點，點為坐標原點.當直線的斜率為時，直線的斜率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為橢圓的左頂點，點為橢圓的右頂點，過的動直線交該橢圓于，兩點，記的面積為，的面積為，求的最大值.

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【題目】關于函數(shù)，有下列四個命題：①的值域是；②是奇函數(shù)；③在上單調遞增；④方程總有四個不同的解；其中正確的是（ ）

A.①②B.②③C.②④D.③④

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【題目】已知數(shù)列的各項均為整數(shù)，其前n項和為．規(guī)定：若數(shù)列滿足前r項依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“r關聯(lián)數(shù)列”．

（1）若數(shù)列為“6關聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對任意，；

（3）若數(shù)列為“6關聯(lián)數(shù)列”，當時,在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求，并探究在數(shù)列中是否存在三項，，其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由.

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【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意可求得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，，

當直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時，.

當直線、的斜率存在時，,設直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理計算可得直線的斜率為，直線的斜率為，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值.

（Ⅰ）設由題，

解得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，，當直線的斜率不存在時，

設，則，直線的方程為代入，

可得 ，，則,

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，設直線的方程為，

則由消去可得：，

又，則，代入上述方程可得:

，，

則 ，

設直線的方程為，同理可得 ，

直線的斜率為

直線的斜率為， .

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【點睛】

(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．

(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））處的切線方程為（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）若方程f（x）＝m有兩個實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，證明：x2－x1≤1＋．

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