橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點 .

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.

 

【答案】

（1），離心率.（2）或.（3）證明：見解析。

【解析】

試題分析：（1）由題意，可設(shè)橢圓的方程為.由已知得

解得，所以橢圓的方程為，離心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0） .設(shè)直線PQ的方程為 .由方程組

得，依題意，得 .

設(shè)，則， ① . ②，由直線PQ的方程得

 .于是 . ③

∵，∴ .  ④，由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或.

（3）證明：.由已知得方程組

注意，解得，因，故

 .

而，所以.

考點：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及平面向量的基礎(chǔ)知識。

點評：是一道綜合性較強的題目，較全面的考查了橢圓、直線于橢圓以及平面向量的基礎(chǔ)知識。解答中從聯(lián)立方程組出發(fā)，運用韋達定理，體現(xiàn)了整體觀，是解析幾何問題中的常見類型。

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2
2
，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
AQ
（λ＞1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明
FM
=-λ
FQ
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2
2
，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，短軸長為2
3
，左焦點為F（-c，0）（c＞0），相應的準線l與x軸交于點A，且點F分
AO
的比為3，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設(shè)
AQ
=λ
AP
（λ＞1），點Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′，求證：
FQ′
=-λ
FP
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•煙臺二模）已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．

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