Question

如圖，在四棱錐中，底面，，  ，    ，是的中點．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析。（Ⅱ）證明：見解析。（Ⅲ）二面角的正切值是．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題目中的線面的垂直性質(zhì)定理得到線線垂直的證明。

（2）利用上一問的結(jié)論和線面垂直的判定定理得到證明。

（3）結(jié)合三垂線定理作出二面角的平面角，然后借助于三角形來求解大小。

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）證明：由，，可得．

是的中點，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內(nèi)的射影是，，．

又，綜上得平面．………………………………（8分）

（Ⅲ）解法一：過點作，垂足為，連結(jié)．則（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．設(shè)，

可得．

在中，，，

則．

在中，．

所以二面角的正切值為．……………………………………（12分）

解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為．

過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，連結(jié)，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，設(shè)，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的正切值是．

（建立直角坐標(biāo)系相應(yīng)給分）

考點：本題主要考查空間幾何體線線的垂直的證明，以及線面垂直的判定定理的運(yùn)用和二面角的平面角的求解問題。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是能合理的建立空間直角坐標(biāo)系，表示出法向量以及直線的方向向量，借助于向量的知識來得到證明和求解，或者借助于線面的垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到結(jié)論。