Question

如圖，圓與離心率為的橢圓（）相切于點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點(diǎn)、與點(diǎn)、（均不重合）.

(ⅰ)若為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)到兩直線的距離分別為、，求的最大值；

(ⅱ)若，求與的方程.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)。

(Ⅱ) 的方程為，的方程為

或的方程為，的方程為。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由題意: 解得   2分

橢圓的方程為                            3分

(Ⅱ)（�。┰O(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070814194362949671/SYS201307081420342036762431_DA.files/image011.png">⊥,則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070814194362949671/SYS201307081420342036762431_DA.files/image014.png">

所以            5分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070814194362949671/SYS201307081420342036762431_DA.files/image016.png"> 

所以當(dāng)時(shí)取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)        6分

（ⅱ）設(shè)的方程為,由解得

由   解得                    8分

同理可得，                  10分

所以，

，

由得解得        13分

所以的方程為，的方程為

或的方程為，的方程為             14分

考點(diǎn)：本題主要考橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線橢圓的位置關(guān)系，圓的切線。

點(diǎn)評(píng)：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定得到k的方程，為進(jìn)一步確定直線方程奠定基礎(chǔ)。