Question

直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A₁，A₂，上、下頂點(diǎn)為B₂，B₁，點(diǎn)P（

3

5

a，m）（m＞0）是橢圓C上一點(diǎn)，PO⊥A₂B₂，直線PO分別交A₁B₁、A₂B₂于點(diǎn)M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=

4 21

7

，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)R點(diǎn)是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，RQ平分∠F₁RF₂且與y軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上可把P點(diǎn)坐標(biāo)用a，b表示出來，由PO⊥A₂B₂，可得KA2B2•K_OP=-1，由此可得a，b的關(guān)系式，連同a²=b²+c²可求得e值；
（2）由MN=

4 21

7

可得關(guān)于a，b的一方程，再根據(jù)（1）中離心率值即可求得a，b值，從而求得橢圓方程；
（3）設(shè)R（x₀，y₀），Q（0，t），由題意得cos∠F₁RQ=cos∠F₂RQ，利用向量夾角公式可表示成關(guān)于y₀與t的式子，根據(jù)y₀的范圍即可求得t的范圍；

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以在方程中令x=

3

5

a，得m=

4

5

b，故P（

3a

5

，

4b

5

），
∵PO⊥A₂B₂，∴KA2B2•K_OP=-1，即-

b

a

×

4 5 b

3 5 a

=-1，
∴4b²=3a²=4（a²-c²），∴a²=4c²，∴e=

1

2

①，
故橢圓的離心率為

1

2

；
（2）MN=

4 21

7

=

2

1 a2 + 1 b2

，∴

a2+b2

a2b2

=

7

12

②
聯(lián)立①②解得，a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（3）由（2）可得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)∠F₁RQ=α，∠F₂RQ=β，則cosα=cosβ，
∴

RF 1• RQ

| RF 1|•| RQ |

=

RF2 • RQ

| RF2 |•| RQ |

．
設(shè)R（x₀，y₀），Q（0，t），
則

(-1-x0，-y0)(-x0，t-y 0)

(x0+1)2+y02

=

(1-x0，-y0)(-x0，t-y 0)

(x0-1)2+y 02

化簡(jiǎn)得：t=-

1

3

y₀，
∵0＜y₀＜

3

，t∈（-

3

3

，0）．
故點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍為：（-

3

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，屬難題．