Question

某醫(yī)療設備每臺的銷售利潤與該設備的無故障使用時間Q（單位：年）有關，若Q≤1，則銷售利潤為0元；若1＜Q≤3，則銷售利潤為10萬元；若Q＞3，則銷售利潤為20萬元．已知每臺該種設備的無故障使用時間Q≤1，1＜Q≤3及Q＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為p₁，p₂，p₃，又知p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且p₂=p₃．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）記兩臺這種設備的銷售利潤之和為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)題目中所給的三種情況發(fā)生的概率P₁，P₂，P₃之間的關系，寫出關于三個概率的關系式，即三個概率之和是1，又兩個概率是一元二次方程的解，根據(jù)根和系數(shù)之間的關系，即可a的值；
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，10，20，30，40，結合變量對應的事件寫出變量的分布列，做出數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得p₁+p₂+p₃=1，
∵p₂=p₃，∴p₁+2p₂=1．∵p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，
∴p1+p2=

3

5

，∴p1=

1

5

，p2=

2

5

．∴a=p1p2=

2

25

（Ⅱ）ξ的可能取值為0，10，20，30，40．
P（ξ=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，P（ξ=10）=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，
P（ξ=20）=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，P（ξ=30）=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=40）=

2

5

×

2

5

=

4

25

．隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	10	20	30	40
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

------------------（10分）
E（ξ）=0×

1

25

+10×

4

25

+20×

8

25

+30×

8

25

+40×

4

25

=24．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查概率的性質(zhì)，考查一元二次方程根和系數(shù)之間的關系，是一個綜合題目．