Question

7．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，且離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C左頂點(diǎn)為A，動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P（4，0）且與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A），求直線AD與直線AE的斜率之乘積．
（3）在（2）條件下，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為F，證明：直線EF過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，且離心率為$\frac{1}{2}$，建立方程，求出a，b，即可橢圓C的方程；
（2）動(dòng)直線l：y=k（x-4）代入橢圓方程，整理可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可求直線AD與直線AE的斜率之乘積．
（3）運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式和直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，且離心率為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），動(dòng)直線l：y=k（x-4）
代入橢圓方程，整理可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵A（-2，0），
∴直線AD與直線AE的斜率之乘積=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=$\frac{9}{4}$；
（3）F（x₁，-y₁），E（x₂，y₂），
∴EF的方程為y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），即y+k（x₁-4）=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得k（x₁-4）（x₂-x₁）=k（x₁+x₂-8）（x-x₁），
∴（x₁+x₂-8）x=2x₁x₂-4（x₁+x₂），
∴x=1，
∴直線EF過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．