已知函數(shù)f(x)=ax+
b
x-1
-a(a∈R,a≠0)
在x=3處的切線方程為(2a-1)x-2y+3=0
(1)若g(x)=f(x+1),求證:曲線g(x)上的任意一點處的切線與直線x=0和直線y=ax圍成的三角形面積為定值;
(2)若f(3)=3,是否存在實數(shù)m,k,使得f(x)+f(m-x)=k對于定義域內(nèi)的任意x都成立;
(1)因為f(x)=a-
b
(x-1)2
,所以f(3)=a-
b
4
=
2a-1
2
,b=2(2分)
g(x)=f(x+1)=ax+
2
x
.

設(shè)g(x)圖象上任意一點P(x0,y0),因為g(x)=a-
2
x2

所以切線方程為y-(ax0+
2
x0
)=(a-
2
x20
)(x-x0).
(4分)
令x=0,得y=
4
x0
;再令y=ax,得x=2x0
故三角形面積S=
1
2
•|
4
x0
|•|2x0|=4
,即三角形面積為定值.(6分)

(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+
2
x-1
-1

假設(shè)存在m,k滿足題意,則有x-1+
2
x-1
+m-x-1+
2
m-x-1
=k

化簡,得
2(m-2)
(x-1)(m-x-1)
=k+2-m
對定義域內(nèi)任意x都成立,(8分)
故只有
m-2=0
k+2-m=0.
解得
m=2
k=0.

所以存在實數(shù)m=2,k=0,使得f(x)+f(m-x)=k對定義域內(nèi)的任意x都成立.(12分).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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