Question

6．設(shè)圓C的方程為x²+y²-2x（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）-2ytan$\frac{θ}{2}$+（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）²=0，式中θ是實(shí)數(shù)，且0＜θ＜π．設(shè)θ₁、θ₂、θ₃都是區(qū)間（0，π）內(nèi)的實(shí)數(shù)，且θ₁、θ₂、θ₃為公差不為0的等差數(shù)列，當(dāng)θ依次取值θ₁、θ₂、θ₃時(shí)，所對(duì)應(yīng)的圓C的半徑依次為r₁、r₂、r₃，試問(wèn)：r₁、r₂、r₃能否成等比數(shù)列？為什么？

Answer 1

分析 求出圓C的圓心和半徑r，討論①當(dāng)θ₂≠$\frac{π}{2}$時(shí)，②當(dāng)θ₂=$\frac{π}{2}$時(shí)，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和二倍角的正切公式和兩角和的正切公式以及誘導(dǎo)公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可判斷．

解答 解：圓C的方程為x²+y²-2x（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）-2ytan$\frac{θ}{2}$+（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）²=0，
即為（x-$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）²+（y-tan$\frac{θ}{2}$）²=tan²$\frac{θ}{2}$，
則圓心為（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$，tan$\frac{θ}{2}$），半徑為r=tan$\frac{θ}{2}$，
①當(dāng)θ₂≠$\frac{π}{2}$時(shí)，θ₁、θ₂、θ₃為公差不為0的等差數(shù)列，
即有θ₂=$\frac{1}{2}$（θ₁+θ₃），
則tanθ₂=tan$\frac{1}{2}$（θ₁+θ₃），
即為$\frac{2tan\frac{{θ}_{2}}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{{θ}_{2}}{2}}$=$\frac{tan\frac{{θ}_{1}}{2}+tan\frac{{θ}_{3}}{2}}{1-tan\frac{{θ}_{1}}{2}tan\frac{{θ}_{3}}{2}}$，
若r₁、r₂、r₃成等比數(shù)列，即為tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$成等比數(shù)列，
即有tan²$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
代入上式，可得2tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$+tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
即有tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$成等差數(shù)列，
則tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
設(shè)θ₁、θ₂、θ₃都是區(qū)間（0，π）內(nèi)的實(shí)數(shù)，
則θ₁=θ₂=θ₃與公差不為0矛盾，故不成立；
②當(dāng)θ₂=$\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$（θ₁+θ₃）=$\frac{π}{2}$，
$\frac{{θ}_{1}}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{{θ}_{3}}{2}$，即有tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$=1，
又tan²$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan²$\frac{π}{4}$=1，
即有tan²$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
則有當(dāng)θ₂=$\frac{π}{2}$時(shí)，tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$成等比數(shù)列，
即有r₁、r₂、r₃成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的運(yùn)用：求圓心和半徑，同時(shí)考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．