Question

13．已知O是坐標原點，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點A、B，當$\frac{2}{3}≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤\frac{3}{4}$時，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，求出a，b，即可求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由圓O與直線l相切，知$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，聯(lián)立直線與橢圓，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線l與橢圓交于兩個不同點，得到k²＞0，由此能推導(dǎo)出△AOB的面積S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²=k²+1，
聯(lián)立直線與橢圓，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\frac{2}{3}≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤\frac{3}{4}$，
∴$\frac{2}{3}$≤$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$≤k²≤1，
S=S_△ABO=$\sqrt{\frac{2（{k}^{4}+{k}^{2}）}{4（{k}^{4}+{k}^{2}）+1}}$，
 設(shè)u=k⁴+k²，則$\frac{3}{4}≤u≤2$，S=$\sqrt{\frac{2u}{4u+1}}$，u∈[$\frac{3}{4}$，2]，
∵S關(guān)于u在[$\frac{3}{4}$，2]單調(diào)遞增，S（$\frac{3}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，S（2）=$\frac{2}{3}$，
∴△AOB的面積S的最大值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．