Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5．
（1）若函數(shù)f（x）在（-

1

3

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在正整數(shù)a，使得f（x）在 x∈(-3，

1

6

)上必為單調(diào)函數(shù)？若存在，試求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f′（1）=0，求導(dǎo)數(shù)代入數(shù)值解方程可得；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)a，要滿足題意，只需

f′(-3)≤0 f′( 1 6 )≤0

，解不等式可得

25

6

≤a≤

23

4

，可得答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）在（-

1

3

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在x=1處取極小值，故f′（1）=0，
求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=3x²+2ax-2，可得1+2a=0，解得a=-

1

2

；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)a，使得f（x）在 x∈(-3，

1

6

)上必為單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）=3x²+2ax-2在x∈(-3，

1

6

)上恒大于等于0，或恒小于等于0，
∵△=4a²+12＞0，∴f′（x）=3x²+2ax-2=0必有兩不等實(shí)根x₁，x₂，
要滿足題意只需兩根x₁＜-3，x₂＞

1

6

，即

f′(-3)≤0 f′( 1 6 )≤0

，
解得

25

6

≤a≤

23

4

，可知存在正整數(shù)a=5滿足要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，實(shí)際函數(shù)的極值問(wèn)題，屬中檔題．