【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點到直線的距離為.

1)求橢圓的方程;

2)過點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于兩點,在軸上是否存在點,使得為正三角形,若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1.2)在軸上是存在點,坐標(biāo)為,

【解析】

1)因為橢圓的離心率為,可得,右焦點到直線的距離為,故,即可求得答案;

2)設(shè)線段的中點,若是正三角形,,結(jié)合已知,即可求得答案.

1橢圓的離心率為

,可得

右焦點到直線的距離為.

①當(dāng)時,將代入

可得

整理可得:

解得:(舍去)或

,可得,即

根據(jù)

可得:

②當(dāng)時,將代入

可得

整理可得:

方程無解

2過點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立直線的方程和橢圓方程可得:,消掉

可得:

根據(jù)韋達定理可得:

設(shè)線段的中點

,

是正三角形

根據(jù),可得

可得:

可得:,解得:

設(shè),將其代入

可得

可得

故在軸上是存在點,使得為正三角形,坐標(biāo)為

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,都有.

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分組(花費)

頻數(shù)

6

22

25

35

8

4

男性

女性

合計

健身花費不超過2400

23

健身花費超過2400

20

合計

1)完善二聯(lián)表中的數(shù)據(jù);

2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)情況,判斷是否有99%的把握認為健身的花費超過2400元與性別有關(guān);

3)求這100名被調(diào)查者一年健身的平均花費(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替).

附:

P(K2k)

0.10

0.05

0.025

0.01

k

2.706

3.841

5.024

6.635

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