Question

12．已知函數(shù)f（x）=cosx•sinx，給出下列五個(gè)說(shuō)法中，其中正確說(shuō)法的序號(hào)是①⑤
①$f（\frac{1921π}{12}）=\frac{1}{4}$；                  
②若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；
③f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上單調(diào)遞增；  
④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{4}，0）$成中心對(duì)稱(chēng)；
⑤將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{3π}{4}$個(gè)單位可得到$y=\frac{1}{2}cos2x$的圖象．

Answer 1

分析 利用倍角公式把已知函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，求出$f（\frac{1921π}{12}）$判斷①；由f（x₁）=-f（x₂）得到x₁、x₂的關(guān)系判斷②；由x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$求出2x的范圍判斷③；代值驗(yàn)證判斷④；利用函數(shù)圖象的平移判斷⑤．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosx•sinx=$\frac{1}{2}sin2x$，
①$f（\frac{1921π}{12}）$=$\frac{1}{2}sin\frac{1921π}{6}$=$\frac{1}{2}sin\frac{π}{6}=\frac{1}{4}$，故①正確；                  
②由f（x₁）=-f（x₂），得$\frac{1}{2}sin（2{x}_{1}）=-\frac{1}{2}sin（2{x}_{2}）$，∴sin2x₁=-sin2x₂=sin（π+2x₂），
則2x₁=π+2x₂+2kπ或2x₁+2x₂=2kπ，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時(shí)，2x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，故③錯(cuò)誤；  
④∵f（-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}sin（-\frac{π}{2}）$=-$\frac{1}{2}$，故④錯(cuò)誤；
⑤將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{3π}{4}$個(gè)單位可得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}sin2（x-\frac{3π}{4}）=\frac{1}{2}cos2x$，故⑤正確．
∴正確的說(shuō)法是①⑤．
故答案為：①⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．